问题景观可视化器

这是我们多目标优化问题景观可视化研究的交互演示。它对双目标基准问题的二维切片进行采样，按照帕累托支配关系对样本点分层，并将结果绘制为可拖动的三维景观，同时显示相应的目标空间视图。

可视化器支持论文中讨论的两种基于支配关系的景观方法。它们的差别只在于映射到竖直轴的标量，因此控件选择的是“景观类型”，而不是任意高度表达式。

两种高度含义

景观	高度编码的内容	最优解的位置
Pareto 景观	非支配排序后，点所属的非支配层级。第一层是非支配（帕累托最优）前沿，移除第一层后得到第二层，依此类推。	层级越小，高度越高；帕累托最优点形成山峰。
Cost 景观	一个点被多少采样点支配，即支配计数，也称 dominance ratio。	不被任何点支配的点位于顶部；显示时会反转计数，使最优点仍位于山峰。

这两个概念很容易混淆。Pareto 景观使用的是非支配层级，也就是非支配排序得到的层号；较早的 Cost 景观使用的是支配该点的点数。二者相关但不同：两个点可能属于同一非支配层级，却具有完全不同的支配计数。此页面早期版本曾把高度标作 “Pareto rank”；对本文提出的方法而言，正确术语是“非支配层级”，而 “Pareto rank / dominance count” 专指 Cost 景观。

在两种景观中，第一层或零支配者的点——即采样集合中的最优前沿——都会在表面上以深色标记，并在目标空间散点图中突出显示。

基准问题

ZDT、DTLZ、UF 与 WFG 示例来自本地 minijmetal 项目中相应基准定义的浏览器版本。由于标准 UF 定义需要两个变量以外的奇偶分组，因此这里只展示二维坐标切片。标记为 BBOB proxy 的条目是轻量的浏览器端替代示例，并不是正式的 COCO / bbob-biobj 实例。如果在本地生成了正式样本，请使用下方 CSV 加载功能。

使用正式 BBOB-biobj 数据

COCO 平台提供 bbob-biobj 与 bbob-biobj-ext 测试套件。若要在这里使用对应函数，可在本地安装 Python 封装，对二维网格进行采样，再通过上方控件上传 CSV。文件应包含 x1, x2, f1, f2 四列，并构成完整矩形网格。

import csv
import numpy as np
import cocoex

suite = cocoex.Suite("bbob-biobj", "instances: 1", "dimensions: 2")
problem = suite[0]
grid = np.linspace(-5.0, 5.0, 81)

with open("bbob_biobj_sample.csv", "w", newline="") as fh:
    writer = csv.writer(fh)
    writer.writerow(["x1", "x2", "f1", "f2"])
    for x1 in grid:
        for x2 in grid:
            f1, f2 = problem([x1, x2])
            writer.writerow([x1, x2, f1, f2])

安装说明见 COCO 入门页面，测试套件背景见 COCO 数据档案。

参考文献

本页所展示的方法来自以下工作：

1. Z. Liang, Z. Cui, and M. Li. Pareto Landscape: Visualising the Landscape of Multi-objective Optimisation Problems. In Parallel Problem Solving from Nature — PPSN XVIII, Lecture Notes in Computer Science, pp. 299–315. Springer, 2024. [论文] [出版页面] DOI: 10.1007/978-3-031-70085-9_19
2. Z. Cui, Z. Liang, and M. Li. A Problem Landscape Visualisation Method for Multi-Objective Optimisation. Mathematical and Computational Applications, 31(3):67, 2026. [论文] [出版页面] DOI: 10.3390/mca31030067
3. C. M. Fonseca. Multiobjective Genetic Algorithms with Application to Control Engineering Problems. PhD thesis, University of Sheffield, 1995.（Cost 景观 / dominance-ratio 可视化的来源。）

论文还将这些方法与 gradient field heatmap（Kerschke & Grimme, 2017）及 PLOT（Schäpermeier, Grimme & Kerschke, 2020）进行比较。所用基准套件包括 ZDT（Zitzler, Deb & Thiele, 2000）、DTLZ（Deb et al., 2005）、WFG（Huband et al., 2006）与 BBOB-biobj（Brockhoff et al., COCO platform）。

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该可视化器用于教学与探索。精确定义、与 gradient field heatmap 及 PLOT 的比较，以及对基准问题特性的讨论，请参见上方文献 1 与 2。